In der affinen Geometrie (also derjenigen, die man standardmäßig betreibt), gelten die euklid´schen Axiome; u.a. das Parallelenaxiom:
Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf g liegt, gibt es genau eine gerade h durch P, sodass g und h parallel sind. Dabei heißen zwei Geraden definitionsgemäß parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.
Jedoch konnte man im 19. Jahrhundert zeigen, dass das Parallelen-Axiom unabhängig von den übrigen der affinen (bzw. euklid´schen) Geometrie ist: Man kann ohne Probleme zu den übrigen Axiomen eine andere Fassung des Parallelenaxioms hinzunehmen, ohne dass Widersprüche entstehen würden, die nicht schon immanent auch in der euklid´schen Geometrie gelten würden (Es ist also die relative Widerspruchsfreiheit des Parallelen-Axioms bzw. dessen Abwandlungen bezügl. der anderen Axiome gezeigt worden).
Die anderen zwei möglichen Versionen lauten:
a) Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf der geraden liegt, gibt es keine Gerade h, sodass g und h parallel sind.
Die daraus mit den sonstigen Axiomen der Geometrie entstehende Geometrie nennt man die sphärisch-hyperbolische Geometrie.
Ein Modell einer sphärisch-hyperbolischen Ebene (mit unendlich vielen Punkten) ist eine Kugeloberfläche. Dabei seien die Punkte unserer sphärischen Ebene jeweils Paare von Punkten auf unsererem euklid´schen Modell der Kugeloberfläche; nämlich identifiziert man gegenüberliegende Punkte miteinander (Nord- und Südpol zusammen ergeben dann also das Modell eines sphärischen Punktes). Und die Geraden unseres Modells sind dann die Großkreise.
Hier kann man sich leicht überlegen, dass sich zwei Großkreise immer schneiden müssen, es also keine zwei parallelen Geraden gibt.
b) Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht auf der geraden liegt, gibt es mindestens zwei Geraden h_1, h_2, ... , sodass g und h_i parallel sind, für alle natürlichen Zahlen i, die da Sinn ergeben.
Die daraus entstehende Geometrie nennt man die projektive Geometrie.
Nun zum Thema "Parallelen schneiden sich im Unendlichen":
Was sind (ebene) Geraden? Also in erster Linie eine Teilmenge von Punkten der Ebene IR^2 mit bestimmten Eigenschaften; insbesondere ist jeder Punkt durch seine Koordinaten, was ja nach Definition reelle Zahlen sind, eindeutig bestimmt; und andersherum jedes Paar von Koordinaten reeller Zahlen beschreibt eindeutig einen Punkt.
Was man aber machen kann, ist, die Ebene zu erweitern: Man spricht dann nicht mehr von der affinen oder euklidschen Ebene IR^2, sondern von der projektiven Ebene P_2(IR).
Dazu geht man folgendermaßen vor: Man nimmt nun nicht nur zwei Koordianten (x|y) um einen Punkt zu beschreiben, sondern 3: (a:b:c). Dabei fordert man aber, dass zwei solche Tripel als gleich zählen, wenn sie sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden:
(a:b:c) = (a':b':c definitionsgemäß genau dann, wenn eine reelle Zahl k!=0 existiert, sodass a'=k*a, b'=k*b und c'=k*c ist.
Und man schließt das Nulltripel (0:0:0) aus.
Also was sind jetzt unsere Punkte? Ein Punkt ist eine Menge von Tripeln (a:b:c), die sich alle jeweils nur durch einen konstanten Faktor voneinander unterscheiden.
Und was bringt das jetzt?
Also nehmen wir mal an, dass c!=0 gilt. Dann können wir auch einen Repräsentanten aus der menge, die uns einen projektiven Punkt beschreibt, auswählen, bei dem c=1 ist (notfalls dividieren wir alle 3 Koordianten halt durch den gemeinsamen Faktor c!=0). Wir erhalten also für unseren gerade betrachteten rojektiven Punkt die Darstellung:
(a:b:1).
Dies können wir auch lesen als: Dies ist der "normale" Punkt (a|b).
In unserer projektiven Ebene liegen also alle Punkte, die auch in der affinen liegen.
Was aber nun bei c=0? Dann können wir nicht einfach durch c dividieren...
Anschaulich gesprochen beischreiben dann a und b alle Richtungen, die es in der Ebene gibt.
Man nimmt also für jede Richtung in der Ebene einen zusätzlichen Punkt hinzu. Aus anderen Überlegungen folgt, dass diese Punkte alle keine endliche Entfernung zum Koordinatenursprung haben können. Deshalb bezeichnet man sie auch manchmal als "unendlich ferne" Punkte.
Was ist jetzt passiert? Beim Übergang von der affinen zur projektiven Ebene sind unendlich ferne Punkte hinzugekommen, und zwar für jede Richtung einer.
Punkte hätten wir in der projektiven Ebene nun beschrieben; fehlen noch die Geraden:
Für jede normale affine Gerade nehmen wir die entspr. Punktmenge nun auch im projektiven als Gerade an, d.h. jede affine Gerade ist auch eine projektive. Diese Aussage stimmt nicht ganz, denn beim Übergang von der affinen zur projektiven Gerade fügen wir noch einen Punkt hinzu, nämlich bei jeder affinen Geraden noch den entsprechend unendlich fernen Punkt, der eben zu der Richtung gehört, entlang die Gerade im affinen verläuft.
Alle unendlich fernen Punkte zusammen bilden eine projektive Gerade.
Was hat das genützt? Wir wollten die Aussage "parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen" diskutieren.
Dann nehmen wir zwei Geraden , die im affinen parallel sind, also keinen Schnittpunkt haben. Dann verlaufen sie automatisch in die gleiche Richtung, d.h. im Übergang zu den entsprechenden projektiven Geraden wird beiden der gleiche unendlich ferne Punkt hinzu gefügt.
Damit schneiden sich dann die beiden erhaltenen projektiven Geraden in eben diesem unendlich fernen Punkt. Dies ist aber eine triviale Konsequenz der Konstruktion...
Ohne Hilfe meines Sohnes hätte ich dies nie hinbekommen :-}
Hier gibt es einen interessanten Link dazu
http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/L.../pg02_loes.pdf
Wollte da nicht so extrem ausholen, da ich dachte das kam nach einen Abend in der Kneipe :-) Man achte auf die Erstellungsuhrzeit.
